ગણિત: આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત

ગણિતનાં ઘણાં પરીણામોની પ્રેરણા પ્યોર મેથ્સનાં<ref name = pureapplied/> જુદા જુદા અંગોમાંથી આવતી હોવાથી, સામાન્યતઃ ઘણાં ગાણિતિક પરીણામોનો વ્યવહારુ ઉપયોગ ન હોવાની અને ગણિતજ્ઞો ફક્ત તેની સુંદરતા માટે જ કામ કરતા હોવાની છાપ સમાજમાં પ્રવર્તે છે. જોકે, એમાં જરાય આશ્ચર્ય નથી કે કેવળ ગણિતનાં<ref name = pureapplied/> ઘણાં પરીણામોનો તેમની શોધ પછી દાયકાઓ બાદ એવો સુંદર ઉપયોગ થયો છે કે તે પછી તેમને એપ્લાઇડ ગણિત (વ્યવહારુ ગણિત) તરીકે ગણવામાં આવે છે. આનો તાજો દાખલો, જ્યોર્જ બુલ દ્વારા શોધાયેલ અને બુલીય બીજગણિત તરીકે ઓળખાતી ગણિતની શાખા છે, જેના કારણે કમ્પ્યુટરમાં સરકીટમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. બુલીય બીજગણિત સિવાય કમ્પ્યુટરની કલ્પના પણ શક્ય નહોતી.

 

{{main|ગાણિતીક સંકેતો}}

ગણિતવિદ્વાનો બને તેટલી સરળતા અને પારદર્શક્તા થી વસ્તુઓ પ્રસ્તુત કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે અને ખાસ કરીને તે તેમના લખાણમાં આનો ખૂબ આગ્રહ રાખે છે. આને ગણિતની રીગર કહેવાય છે. ગણિતજ્ઞોએ સામાન્ય ભાષાને ચોકસાઇપૂર્વકના પારીભાષિક, વ્યાકરણની વધુ સ્પષ્ટતા અને ચિન્હો ઉમેરી વિસ્તારી છે જેથી ગણિતની દરેક શાખામાં ગાણિતિક પદાર્થ (object), ચિહ્નો (symbols) અને તેમની વચ્ચેના સંબંધો ત્રુટી રહિત દર્શાવી શકાય. ગણિતમાં વપરાતા પારીભાષિક શબ્દો વ્યવહારમાં પણ વપરાતા હોય છે. જેમકે [[ગણ]], [[સમુહ]] અને [[અવકાશ]] પણ સામાન્ય રીતે તેમના અર્થ ગણિતમાં કાંઇક વિશિષ્ટતા સાથે જોડાયેલ હોય છે. બીજી તરફ અમુક પારિભાષિક શબ્દો ગણિતની બહાર અર્થ વિહિન હોય છે, જેમકે [[હોમોટોપી]], [[હોમોમોરફીઝમ]], [[વિકલન]], [[શ્રેણિક]]. ઘણી વખત ગણિતમાં એવા દાવા થયા છે કે જે સમય જતાં ખોટા સાબિત થયા હોય. જેમ કે [[ફર્મા]]એ એવો દાવો કર્યો હતો કે ૨ના કોઇપણ ઘાતમાંથી એક બાદ કરો તો [[અવિભાજ્ય સંખ્યા]] મળે. વળી પહેલાં એમ્પીરીકલ ગણિત તેમજ વ્યવહારુ ભાષાના અયોગ્ય સમન્વયથી પણ ગણિતમાં ખોટા પરીણામો સાબીત થયાના બનાવો બન્યા છે. આમ થતું અટકાવવા માટે ગણિતમાં યુક્લિડે અને તેના સમયના યુનાની (ગ્રીક) ગણિતજ્ઞોએ ડીડક્ટીવ રીઝનીંગથી ગણિતમાં પરીણામો સાબીત કરવાની પ્રથાની શરૂઆત કરી. આ પદ્ધતિમાં સૌ પ્રથમ તો સર્વગ્રાહી સત્યનો પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકાર કરવામાં આવે અને તેના ઉપરથી નવાં પરીણામો તારવવામાં આવે. હિલ્બર્ટે એવો પ્રસ્તાવ મૂકયો કે ગણિતના સર્વે પરીણામો પૂર્વધારણા અને તેના તાર્કિક ફલનના સ્વરૂપે મુકવા. આ મહત્વકાંક્ષી પ્રકલ્પને [[હિલ્બર્ટ પ્રોગ્રામ]] તરીકે જાણીતો છે. જો કે જ્યારે [[ગોડેલનું ઇનકમ્પલીટ પ્રમેય|ગોડેલનું ઇનકમ્પલીટ પ્રમેય દ્વારા જાણીતા]] એક પરીણામને લીધે આ પ્રકલ્પ ન તો પુરો થઇ શક્યો કે ન તો ભવિષ્યમાં પુરો થશે. ગોડેલના આ પ્રમેય મુજબ કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ (પૂર્વધારણા પર આધારીત ડીડકટીવ પ્રણાલી)માં અનિર્ણિત વિધાનોનુ અસ્તિત્વ આવે જ. આમ એક્ષોમેટિક ગણિત સ્વયંઘાતી વિધાનો (contradiction) વગર શક્ય નથી. ટુંકમાં કહીએ તો કોઇપણ રીતે ગણિતમાં એવાં વિધાનો રહેવાનાં જ કે જે ન તો ખોટાં માની શકાય કે ન સાચાં પુરવાર કરી શકાય. વળી બીજી તરફ ગણિતમાં એવી દ્રઢ માન્યતા પ્રવર્તતી કે ગણિતની કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ છેવટે તો ગણ સિદ્ધાંતમાંથી જ અવતરે અને તેના મૂળ પણ ગણ સિદ્ધાંતમાં જ હોય. હાલમાં ૨૦મી સદીમાં [[ઍલન કોન્સ|ઍલન કોન્સના]] (Alain Connes) નવા આવિષ્કારને લીધે હવે ગણ સિદ્ધાંતથી ન જાણી શકાય તેવા ગણિતનો અભ્યાસ ખૂબ વિક્સ્યો છે.