ગણિત: આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત
Content deleted Content added
→નામાંકન,ભાષા અને તટસ્થતા: ચિત્ર ઉમેર્યું |
→વિજ્ઞાન ની રાણી?: વચગાળાનુ કામ |
||
લીટી ૪૦:
ગણિતવિદ્વાનો બને તેટલી સરળતા અને પારદર્શક્તા થી વસ્તુઓ પ્રસ્તુત કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે અને ખાસ કરીને તે તેમના લખાણમાં આનો ખૂબ આગ્રહ રાખે છે. આને ગણિતની રીગર કહેવાય છે. ગણિતજ્ઞોએ સામાન્ય ભાષાને ચોકસાઇપૂર્વકના પારીભાષિક, વ્યાકરણની વધુ સ્પષ્ટતા અને ચિન્હો ઉમેરી વિસ્તારી છે જેથી ગણિતની દરેક શાખામાં ગાણિતિક પદાર્થ (object), ચિહ્નો (symbols) અને તેમની વચ્ચેના સંબંધો ત્રુટી રહિત દર્શાવી શકાય. ગણિતમાં વપરાતા પારીભાષિક શબ્દો વ્યવહારમાં પણ વપરાતા હોય છે. જેમકે [[ગણ]], [[સમુહ]] અને [[અવકાશ]] પણ સામાન્ય રીતે તેમના અર્થ ગણિતમાં કાંઇક વિશિષ્ટતા સાથે જોડાયેલ હોય છે. બીજી તરફ અમુક પારિભાષિક શબ્દો ગણિતની બહાર અર્થ વિહિન હોય છે, જેમકે [[હોમોટોપી]], [[હોમોમોરફીઝમ]], [[વિકલન]], [[શ્રેણિક]]. ઘણી વખત ગણિતમાં એવા દાવા થયા છે કે જે સમય જતાં ખોટા સાબિત થયા હોય. જેમ કે [[ફર્મા]]એ એવો દાવો કર્યો હતો કે ૨ના કોઇપણ ઘાતમાંથી એક બાદ કરો તો [[અવિભાજ્ય સંખ્યા]] મળે. વળી પહેલાં એમ્પીરીકલ ગણિત તેમજ વ્યવહારુ ભાષાના અયોગ્ય સમન્વયથી પણ ગણિતમાં ખોટા પરીણામો સાબીત થયાના બનાવો બન્યા છે. આમ થતું અટકાવવા માટે ગણિતમાં યુક્લિડે અને તેના સમયના યુનાની (ગ્રીક) ગણિતજ્ઞોએ ડીડક્ટીવ રીઝનીંગથી ગણિતમાં પરીણામો સાબીત કરવાની પ્રથાની શરૂઆત કરી. આ પદ્ધતિમાં સૌ પ્રથમ તો સર્વગ્રાહી સત્યનો પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકાર કરવામાં આવે અને તેના ઉપરથી નવાં પરીણામો તારવવામાં આવે. હિલ્બર્ટે એવો પ્રસ્તાવ મૂકયો કે ગણિતના સર્વે પરીણામો પૂર્વધારણા અને તેના તાર્કિક ફલનના સ્વરૂપે મુકવા. આ મહત્વકાંક્ષી પ્રકલ્પને [[હિલ્બર્ટ પ્રોગ્રામ]] તરીકે જાણીતો છે. જો કે જ્યારે [[ગોડેલનું ઇનકમ્પલીટ પ્રમેય|ગોડેલનું ઇનકમ્પલીટ પ્રમેય દ્વારા જાણીતા]] એક પરીણામને લીધે આ પ્રકલ્પ ન તો પુરો થઇ શક્યો કે ન તો ભવિષ્યમાં પુરો થશે. ગોડેલના આ પ્રમેય મુજબ કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ (પૂર્વધારણા પર આધારીત ડીડકટીવ પ્રણાલી)માં અનિર્ણિત વિધાનોનુ અસ્તિત્વ આવે જ. આમ એક્ષોમેટિક ગણિત સ્વયંઘાતી વિધાનો (contradiction) વગર શક્ય નથી. ટુંકમાં કહીએ તો કોઇપણ રીતે ગણિતમાં એવાં વિધાનો રહેવાનાં જ કે જે ન તો ખોટાં માની શકાય કે ન સાચાં પુરવાર કરી શકાય. વળી બીજી તરફ ગણિતમાં એવી દ્રઢ માન્યતા પ્રવર્તતી કે ગણિતની કોઇ પણ એક્ષોમેટિક પદ્ધતિ છેવટે તો ગણ સિદ્ધાંતમાંથી જ અવતરે અને તેના મૂળ પણ ગણ સિદ્ધાંતમાં જ હોય. હાલમાં ૨૦મી સદીમાં [[ઍલન કોન્સ|ઍલન કોન્સના]] (Alain Connes) નવા આવિષ્કારને લીધે હવે ગણ સિદ્ધાંતથી ન જાણી શકાય તેવા ગણિતનો અભ્યાસ ખૂબ વિક્સ્યો છે.
== ગણિત વિજ્ઞાન ની રાણી
[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|[[કાર્લ ફેડરીક ગાઉસ]], જેને "ગણિતનો રાજકુમાર" કહેવાય છે, તે ગણિતને "વિજ્ઞાનની રાણી" ગણતા. ]]
[[કાર્લ ફેડરીક ગાઉસ]] ગણિતને વિજ્ઞાનની રાણી કહેતા.<ref>Waltershausen</ref> In the original Latin ''Regina Scientiarum'', as well as in [[German language|German]] ''Königin der Wissenschaften'', the word corresponding to ''science'' means (field of) knowledge. Indeed, this is also the original meaning in English, and there is no doubt that mathematics is in this sense a science. The specialization restricting the meaning to ''natural'' science is of later date. If one considers [[science]] to be strictly about the physical world, then mathematics, or at least [[pure mathematics]], is not a science. [[Albert Einstein]] has stated that ''"as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" He, too, is concerned with ''[[The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences]]''.</ref>
Many philosophers believe that mathematics is not experimentally [[falsifiability|falsifiable]], and thus not a science according to the definition of [[Karl Popper]].<ref>{{cite book | title = Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists | author = Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. | publisher = Springer | year = 1998 | page = 228}}</ref> However, in the 1930s important work in mathematical logic showed that mathematics cannot be reduced to logic, and Karl Popper concluded that "most mathematical theories are, like those of [[physics]] and [[biology]], [[hypothesis|hypothetico]]-[[deductive]]: pure mathematics therefore turns out to be much closer to the natural sciences whose hypotheses are conjectures, than it seemed even recently."<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Other thinkers, notably [[Imre Lakatos]], have applied a version of [[falsificationism]] to mathematics itself.
An alternative view is that certain scientific fields (such as [[theoretical physics]]) are mathematics with axioms that are intended to correspond to reality. In fact, the theoretical physicist, [[J. M. Ziman]], proposed that science is ''public knowledge'' and thus includes mathematics.<ref>Ziman</ref> In any case, mathematics shares much in common with many fields in the physical sciences, notably the exploration of the logical consequences of assumptions. [[intuition (knowledge)|Intuition]] and [[experiment]]ation also play a role in the formulation of [[conjecture]]s in both mathematics and the (other) sciences. [[Experimental mathematics]] continues to grow in importance within mathematics, and computation and simulation are playing an increasing role in both the sciences and mathematics, weakening the objection that mathematics does not use the [[scientific method]]. In his 2002 book ''[[A New Kind of Science]]'', [[Stephen Wolfram]] argues that computational mathematics deserves to be explored empirically as a scientific field in its own right.
The opinions of mathematicians on this matter are varied. Many mathematicians feel that to call their area a science is to downplay the importance of its aesthetic side, and its history in the traditional seven [[liberal arts]]; others feel that to ignore its connection to the sciences is to turn a blind eye to the fact that the interface between mathematics and its applications in science and [[engineering]] has driven much development in mathematics. One way this difference of viewpoint plays out is in the philosophical debate as to whether mathematics is ''created'' (as in art) or ''discovered'' (as in science). It is common to see [[university|universities]] divided into sections that include a division of ''Science and Mathematics'', indicating that the fields are seen as being allied but that they do not coincide. In practice, mathematicians are typically grouped with scientists at the gross level but separated at finer levels. This is one of many issues considered in the [[philosophy of mathematics]].
Mathematical awards are generally kept separate from their equivalents in science. The most prestigious award in mathematics is the [[Fields Medal|Fields Medal]],<ref>"''The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics.''" Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> established in 1936 and now awarded every 4 years. It is often considered the equivalent of science's [[Nobel Prize]]s. The [[Wolf Prize in Mathematics]], instituted in 1978, recognizes lifetime achievement, and another major international award, the [[Abel Prize]], was introduced in 2003. These are awarded for a particular body of work, which may be innovation, or resolution of an outstanding problem in an established field. A famous list of 23 such [[open problem]]s, called "[[Hilbert's problems]]", was compiled in 1900 by German mathematician [[David Hilbert]]. This list achieved great celebrity among mathematicians, and at least nine of the problems have now been solved. A new list of seven important problems, titled the "[[Millennium Prize Problems]]", was published in 2000. Solution of each of these problems carries a $1 million reward, and only one (the [[Riemann hypothesis]]) is duplicated in Hilbert's problems.
==ગણિત ના વિભાગૌ નૂ વિહંગાવલૌકન==
| |||