બહુકોણ

ભૂમિતિમાં બહુકોણએ પરંપરાગત સમતલ આકૃતિ છે જે સુરેખ રેખાખંડોની પરિમિત શ્રેણી (માટે બંધ બહુકોણીય શૃંખલા દ્વારા) બનેલા બંધ પથ અથવા પરિપથ દ્વારા બંધાયેલી હોય છે. આ ખંડોને તેની ધાર અથવા બાજુઓ કહેવાય છે અને જે બિંદુએ બે ધાર મળે છે તે બહુકોણના શિરોલંબ અથવા ખૂણાઓ છે એન ગોન (n-gon) એ બહુકોણ એન (n) બાજુઓવાળો બહુકોણ છે. બહુકોણના આંતરિક ભાગને ઘણીવાર તેની બોડી કહેવામાં આવે છે. બહુકોણ એ કોઇ પણ સંખ્યામાં પરિમાણમાં વધુ સામાન્ય પોલિટોપનું દ્વિપરિમાણીય ઉદાહરણ છે.

બહુકોણની ભાત

શબ્દ "પોલિગોન" (polygon) ગ્રીક શબ્દ πολύς ("ઘણા") અને γωνία (ગોનિયા), જેનો અર્થ "ઘૂંટણ" અથવા "એન્ગલ" (કોણ) થાય છે, પરથી આવેલો છે. આજે બહુકોણને સામાન્ય રીતે બાજુઓના સંદર્ભમાં સમજવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, બે ધારે એક ખૂણા પર મળી એક કોણ રચવો જોઇએ જે સુરેખ (180°) નથી અથવા તો રેખાખંડોને એક જ ધારના ભાગ ગણવામાં આવશે. ચોક્કસ હેતુ સંતોષવા માટે મૂળભૂત ભૌમિતિક કલ્પનાને અલગ અલગ રીતે અપનાવવામાં આવી છે. દાખલા તરીકે, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ (ઇમેજ જનરેશન) ફીલ્ડમાં, બહુકોણ શબ્દને સહેજ અલગ બદલેલા અર્થ સાથે લેવામાં આવ્યો છે, તે આકારને સ્ટોર કરવામાં આવ્યો છે તેને લગતો વધુ છે અને તેને કમ્પ્યુટરમાં ચાલાકીથી વાપરવામાં આવ્યો છે.

વર્ગીકરણ

બાજુઓની સંખ્યા

બહુકોણને સામાન્ય રીતે બાજુઓની સંખ્યાને આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, બહુકોણના નામ નીચે મુજબ જુઓ.

બહિર્મુખતા

બહુકોણને તેની બહિર્મુખતાની માત્રા (ડીગ્રી) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:

• બહિર્મુખ : બહુકોણમાંથી દોરવામાં આવેલી કોઇ પણ રેખા (ધાર કે ખૂણાના સ્પર્શક નહીં) તેની સીમાને બરાબર બે વાર મળે છે. અન્ય શબ્દોમાં કહીએ તો, તેના તમામ અંતઃકોણ 180°થી નાના છે.
• બિન-બહિર્મુખ : એવી રેખા જોવા મળી શકે છે જે તેની સીમાને બે વારથી વધુ વખત મળે છે. અન્ય શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ઓછામાં ઓછો એક અંતઃકોણ કોણ ધરાવે છે જેનું માપ 180°થી નાનું છે.
• સરળ : બહુકોણની સીમા તેની જાતને પાર કરતી નથી. તમામ બહિર્મુખ બહુકોણ સરળ હોય છે.
• અંતર્મુખ : બિન-બહિર્મુખ અને સરળ.
• તારા આકારનો : સમગ્ર આંતરિક ભાગ કોઇ પણ ધારને પાર કર્યા વગર એક જ બિંદુ પરથી દૃશ્યમાન થાય છે. બહુકોણ સરળ હોવો જ જોઇએ, અને તે બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ હોઇ શકે છે.
• સ્વછેદન : બહુકોણની સીમાઓ પોતાની જાતને પાર કરે છે. બ્રાન્કો ગ્રુન્બૌમ તેમને કોપ્ટિક કહે છે જોકે, આ શબ્દનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થતો નથી. મિશ્ર શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર સરળ ની વિરુદ્ધમાં વાપરવામાં આવે છે પરંતુ તેમાં બે મિશ્ર પરિમાણ ધરાવતા મિશ્ર હિલબર્ટ સમતલમાં હાજર હોય છે તેની સાથે મિશ્ર બહુકોણ ના વિચારની સાથે ગુંચવણ ઉભી થવાનું જોખમ છે.
• તારા બહુકોણ : એક બહુકોણ જે નિયમિત રીતે સ્વછેદન કરે છે.

સપ્રમાણતા

• સમકોણીય : તેના તમામ ખૂણાના કોણ સમાન હોય છે.
• ચક્રીય : તમામ ખૂણાઓ એક જ વર્તુળ પર હોય છે.
• તુલ્યકોણ અથવા શિરોબિંદુ-સંક્રામક : તમામ ખૂણાઓ સમાન સમપ્રમાણતા કક્ષાની અંદર હોય છે. આ બહુકોણ ચક્રીય અને સમકોણીય પણ છે.
• સમબાજુ : તમામ ધાર સમાન લંબાઇની હોય છે. (5 કે તેથી વધુ બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ બહિર્મુખ હોવા સિવાય સમબાજુ હોઇ શકે છે.) (વિલિયમ્સ 1979, પાના 31-32)
• આઇસોટોક્સલ અથવા ધાર-સંક્રામક : તમામ બાજુઓ એક જ સમપ્રમાણતા કક્ષાની અંદર રહે છે. આ બહુકોણ સમબાજુ પણ છે.
• નિયમિત . બહુકોણ જો ચક્રીય અને સમબાજુ બંને હોય તો તે નિયમિત છે. બિન-બહિર્મુખ નિયમિત બહુકોણને નિયમિત તારા બહુકોણ કહેવાય છે.

અન્ય વિવિધ બાબતો

• સુરેખીય : બહુકોણ, જેની બાજુઓ કાટખૂણે મળે છે. માટે તેના તમામ અંતઃકોણ 90 અથવા 270 ડિગ્રીના હોય છે.
• એકસૂત્રી રેખા L ની સાપેક્ષમાં, જો Lને લંબછેદી પ્રત્યેક રેખા બે વખતથી વધુ વખત બહુકોણને ના છેદે તો.

ગુણધર્મો

આપણે યુક્લિડીયન ભૂમિતિ ધ્યાનમાં લઇશું.

ખૂણાઓ

કોઇ પણ બહુકોણ, નિયમિત અથવા અનિયમિત, સ્વછેદન અથવા સરળ, તે જેટલી બાજુઓ ધરાવે છે તેટલા ખૂણા ધરાવે છે. પ્રત્યેક ખૂણાને કેટલાક કોણ હોય છે. બે મહત્ત્વના કોણ નીચે મુજબ છેઃ

• અંતઃકોણ – સરળ n -કોણના અંતઃકોણનો સરવાળો (n  − 2)π રેડિયન અથવા $(n-2)180$ ડિગ્રી થાય છે. આમ થવાનું કારણ તે છે કે, સરળ n -કોણ (n  − 2) ત્રિકોણનો બનેલો હોવાનું માનવામાં આવે છે. તેના પ્રત્યેકને π રેડિયન અથવા 180 ડીગ્રીનો કોણ સરવાળો હોય છે. બહિર્મુખ નિયમિત n -કોણના કોઇ પણ અંતઃકોણનું માપ $(1-{\frac {2}{n}})\pi$ રેડિયન અથવા $180-{\frac {360}{n}}$ ડીગ્રી છે. નિયમિત તારા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સૌ પ્રથમ અભ્યાસ સમાન કાગળ પર પોઇન્સોટે કર્યો હતો જેમાં તે ચાર નિયમિત તારા બહુફલક વર્ણવે છે.
• બહિષ્કોણ – ધારો કે તમે ભોંયતળીયા પર દોરેલા સરળ n -કોણ પર ચાલી રહ્યાં છો. તમે એક ખૂણા પર જેટલું વળો છો તે અંતઃ અથવા બહિષ્કોણ છે. સમગ્ર બહુકોણ પર ચાલીને તમે એક ચક્કર પુરું કરો છો માટે બહિષ્કોણનો સરવાળો 360° હોવો જોઇએ. n-કોણની આસપાસ ફરતા, બહિષ્કોણનો સરવાળો (શિરોલંબ પર તમે વળો છો તે કુલ આંકડો) 360°નો કોઇ પણ પૂર્ણ ગુણાંક d હોઇ શકે છે, દા.ત. પેન્ટાગ્રામ માટે 720° અને કોણીય "આઠ" માટે 0°, જ્યાં d બહુકોણની ઘનતા અથવા સ્ટારીનેસ છે. કક્ષા (ગતિવિજ્ઞાન).

બહિષ્કોણ એ અંતઃકોણનો પૂરક કોણ છે. આ માટે, કેટલાક અંતઃકોણો 180°થી વધુ હોય તો પણ અંતઃકોણોનો સરવાળો સરળતાથી જાણી શકાય છે. ઘડીયાળના કાંટાની દિશામાં આગળ વધવાનો અર્થ છે કે કોઇ ડાબીની બદલે જમણી બાજુએ વળે છે તો તેને નકારાત્મક મૂલ્યમાં વળ્યાં તરીકે ગણવામાં આવે છે. (આમ આપણે બાજુઓના દિશામાનના વેષ્ટનાંક જેવું કઇંક કરીએ છીએ જ્યાં પ્રત્યેક શિરોબિંદુએ યોગદાન −½ અને ½ વેષ્ટનાંકની વચ્ચે છે)

ક્ષેત્રફળ અને કેન્દ્રક

દ્વિપારિમાણિક બહુકોણનું નામકરણ

બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બહુકોણ દ્વારા દ્વિપરિમાણીય બંધ ક્ષેત્રનું માપ છે. n શિરોલંબ સાથે બિનસ્વછેદન (સરળ) બહુકોણ માટે ક્ષેત્રફળ અને કેન્દ્રક નીચે મુજબ આપેલા છે:

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,$

$C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,$

$C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,$

બહુકોણને બંધ કરવા પ્રથમ અને અંતિમ શિરોલંબ સમાન હોય છે, માટે, $x_{n},y_{n}=x_{0},y_{0}$. શિરોલંબનો ક્રમ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અથવા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવો જોઇએ; જો તે ઘડિયાળાના કાંટાની દિશામાં હોય તો ક્ષેત્રફળ નકારાત્મક હશે જે નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સાચું હશે. આને સામાન્ય રીતે સર્વેયરના સૂત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

મીસ્ટર દ્વારા 1769માં સૂત્ર વર્ણવામાં આવ્યું હતું અને ગૌસ દ્વારા 1795માં સૂત્ર આપવામાં આવ્યું હતું. બહુકોણને ત્રિકોણમાં વહેંચીને તેની ખરાઇ કરી શકાય છે પરંતુ તેને ગ્રીનના પ્રમેયના વિશેષ કિસ્સા તરીકે પણ જોવામાં આવે છે.

સરળ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ A પણ ગણી શકાય છે જો બાજુઓ, a ₁,a ₂, ..., a _n ની લંબાઈ અને બહિષ્કોણ, $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n}$ જાણીતા હોય તો. તે માટેનું સૂત્ર છે

${\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})])\end{aligned}}$

આ સૂત્ર લોપશિટ્સ દ્વારા 1963માં આપવામાં આવ્યું હતું.

જો બહુકોણને સમાન અવકાશવાળી ગ્રિડ પર એવી રીતે દોરવામાં આવે કે જેથી તેના શિરોલંબો ગ્રિડ બિંદુઓ બને તો પિકનો પ્રમેય અંતઃકોણ અને સીમા ગ્રિડ બિંદુની સંખ્યાને આધારે બહુકોણના ક્ષેત્રફળનું સરળ સૂત્ર આપે છે.

જો સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે સરળ બહુકોણ લેવામાં આવે તો પ્રથમ બહુકોણને બહુકોણીય ટુકડાઓમાં એવી રીતે કાપી શકાય કે તે બીજા બહુકોણને મળતા આવે. આ બોલયાઇ-ગેર્વિન પ્રમેય છે.

નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ r ત્રિજ્યાવાળા અંતર્વૃત્તના સ્વરૂપમાં પણ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે.

$A={\tfrac {1}{2}}\cdot perimeter\cdot r$.

એકમ વર્તુળમાં આવેલા અંતર્લિખિત નિયમિત n-કોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે

$A={\frac {ns}{4}}{\sqrt {4-s^{2}}}$.

નિયમિત n-કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પરિવૃત્તના સ્વરૂપમાં R ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ દ્વારા નીચે મુજબ આપવામાં આવેલું છે.

$A={\frac {R}{2}}\cdot perimeter\cdot {\sqrt {1-{\tfrac {Perimeter^{2}}{4n^{2}R^{2}}}}}$.

એકમ-ત્રિજ્યાવાળા અંતર્વૃત્ત અને બાજુ s અને અંતઃકોણ $\theta$વાળા નિયમિત n-કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણમિતિની રીતે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય.

$A={\frac {ns^{2}}{4}}cot{\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}cot{\frac {\theta }{n-2}}=n\cdot sin{\frac {\pi }{n}}\cdot cos{\frac {\pi }{n}}=n\cdot sin{\frac {\theta }{n-2}}\cdot cos{\frac {\theta }{n-2}}$.

સામાન્ય રીતે બહુકોણની બાજુઓ ક્ષેત્રફળ નક્કી કરતી નથી. જોકે, જો બહુકોણ ચક્રીય હોય બાજુઓ ચોક્કસ ક્ષેત્રફળ નક્કી કરે છે. આપેલી બાજુઓવાળા તમામ n-કોણ માટે સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળવાળો બહુકોણ ચક્રીય બહુકોણ છે.

સ્વછેદન બહુકોણો

સ્વછેદન બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ બે રીતે નક્કી કરી શકાય છે. તેની પ્રત્યેક રીત અલગ જવાબ આપે છેઃ

• સરળ બહુકોણ માટે ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરતા આપણને જણાય છે કે બહુકોણની અંદર ચોક્કસ વિસ્તારો એક પરિબળના ગુણાકારમાં તેમનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે જેને આપણે વિસ્તારની ઘનતા કહીશું. દાખલા તરીકે કેન્દ્રીય બહિર્મુખ પંચકોણમાં પેન્ટાગ્રામની કેન્દ્રની ઘનતા 2 છે. ક્રોસ-ચતુર્ભુજના બે ત્રિકોણીય વિસ્તારો (આકૃતિ 8માં દર્શાવ્યા મુજબ) વિરુદ્ધ નિશાનીવાળી ઘનતા ધરાવે છે અને તેમના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો કરતા સમગ્ર આકૃતિ માટે કુલ શૂન્ય ક્ષેત્રફળ મળે છે.
• બંધ વિસ્તારોને બિંદુ ગણ ગણીએ તો આપણે બંધ બિંદુ ગણનું ક્ષેત્રફળ મેળવી શકીએ. તે બહુકોણ દ્વારા આવરી લેવાયેલા સમતલનું ક્ષેત્રફળ રજૂ કરે છે અથવા સ્વછેદન બહુકોણ (અથવા ક્રોસ-ચતુર્ભુજ, બે સરળ ત્રિકોણના કિસ્સા)ની જેમ સમાન આઉટલાઇન ધરાવતા સરળ બહુકોણ જેટલું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.

સ્વાતંત્ર્ય કક્ષા

n -કોણ 2n સ્વાતંત્ર્ય કક્ષા ધરાવે છે, જેમાં સ્થાન માટે 2, ભ્રમણ દિશામાન માટે 1 અને કુલ કદ માટે 1નો સમાવેશ થાય છે માટે આકાર માટે 2n  − 4. સમપ્રમાણતા રેખાના કિસ્સામાં પાછળનું ઘટીને n  − 2 થાય છે.

ધારો કે, k  ≥ 2. k -ગણી ભ્રમણ સમપ્રમાણતા (C_k ) સાથેના nk -કોણવાળા આકાર માટે 2n  − 2 સ્વાતંત્ર્ય કક્ષા છે. વધારાની મિરર ઇમેજ સમપ્રમાણતા (D_k ) માટે n  − 1 સ્વાતંત્ર્ય કક્ષા હોય છે.

નિયમિત બહુકોણના વિકર્ણોનું ગુણનફલ

એકમ ત્રિજ્યાવાળા અંતર્વૃત્તમાં નિયમિત n -કોણ માટે આપેલા શિરોબિંદુથી તમામ અન્ય શિરોલંબ સુધીના અંતરનો ગુણાકાર n છે.

બહુકોણોનું સામાન્યકરણ

વ્યાપક રીતે જોઇએ તો બહુકોણ એ બિનબંધિયાર (અંત વગર) શ્રેણી અથવા એકાંતર ખંડો (બાજુઓ) અને કોણ (ખૂણાઓ)નો પરિપથ છે. સામાન્ય બહુકોણ બિનબંધિયાર છે કારણકે શ્રેણી જાતે જ લૂપ અથવા પાશ અથવા પરિપથમાં પાછી બંધ થાય છે. જ્યારે એપીરોગોન (અપરિમિત બહુકોણ) બિનબંધિયાર છે કારણકે તે હંમેશ માટે આગળ વધે છે અને તમે ક્યારે બંધન અંત્યબિંદુ સુધી પહોંચી શકતા નથી. આધુનિક ગાણિતિક સમજ આવી બંધારણીય શ્રેણીને "અમૂર્ત" બહુકોણના સ્વરૂપમાં દર્શાવવાની છે જે ઘટકોનો આંશિક ક્રમિત ગણ (પોસેટ) છે. બહુકોણનો આંતરિક (ભાગ) અન્ય ઘટક છે (તકનીકી કારણોસર) તે શૂન્ય પોલિટોપ અથવા નલીટોપ છે.

ભૌમિતિક બહુકોણ સંબંધિત અમૂર્ત બહુકોણનું મૂર્તસ્વરૂપ માનવામાં આવે છે જેમાં અમૂર્તથી ભૌમિતિક ઘટકોનું "માપન" કરવામાં આવે છે. આવા બહુકોણ સમતલમાં રહેવા કે સુરેખ બાજુઓ, કે બંધ ક્ષેત્રફળ હોવા જરૂરી નથી વ્યક્તિગત ઘટકો, ઓવરલેપ કે સુસંગત હોઇ શકે છે. દાખલા તરીકે ગોલીય બહુકોણને ગોળાની સપાટી પર દોરવામાં આવે છે અને તેની બાજુઓ બૃહદ વર્તુળના ચાપ છે. આમ આપણે જ્યારે "બહુકોણ"ની વાત કરતા હોઇએ ત્યારે આપણે આપણે ક્યા પ્રકારની વાત કરીએ છીએ તે સમજાવવા આપણે સંભાળવું જોઇએ.

દ્વિકોણ એ બંધ બહુકોણ છે જે બે બાજુઓ અને બે ખૂણાઓ ધરાવે છે. ગોળા પર બે વિરુદ્ધ બિંદુઓ અંકિત કરી શકીએ છીએ (ઉત્તર ધ્રુવ અને દક્ષિણ ધ્રુવની જેમ) અને તેમને બૃહદ વર્તુળના અડધાભાગ દ્વારા જોડી શકીએ છીએ. બીજા બૃહદ વર્તુળનો વધુ એક ચાપ ઉમેરો અને તમે દ્વિકોણ મેળવો. ગોળાના દ્વિકોણને પ્રરેખિત કરો અને તમારી પાસે હોસોહેડ્રોન નામનો બહુફલક હશે. તેના સ્થાને માત્ર એક બૃહદ વર્તુળ લો તેને ચારે બાજુ દોરો અને માત્ર એક "ખૂણો" બિંદુ ઉમેરો અને તેમને એકકોણ અથવા હેનાગોન મળશે જો કે ઘણા સત્તાવાળાઓ તેને યોગ્ય બહુકોણ ગણતા નથી.

આ બહુકોણોનું અન્ય મૂર્તસ્વરૂપ અન્ય સપાટીઓ પર શક્ય છે પરંતુ યુક્લિડીયન (સપાટ) સમતલમાં તેમની બોડીને સંવેદનશીલ રીતે મૂર્તસ્વરૂપણ કરવું જોઇએ અને અમે તેમને ડિજનરેટ તરીકે વિચારીએ છીએ.

બહુકોણના વિચારનું વિવિધ રીતે સામાન્યકરણ કરાયું છે. કેટલાક ડિજનરેટ કિસ્સાઓની (અથવા તમારા દૃષ્ટિબિંદુ આધારિત વિશેષ કિસ્સાની) અહીં એક ટૂંકી યાદી છે :

• દ્વિકોણ . યુક્લિડીયન સમતલમાં અંતઃકોણ 0°નો હોય છે. ગોળા પર ઉપર આરઇ. પર નોંધ જુઓ
• 180°નો અંતઃકોણ: સમતલ તે એપીરોગોન આપે છે (નીચે જુઓ), ગોળા પર ડાઇહેડ્રોન
• વિષમતલીય બહુકોણ સપાટ સમતલ પર રહેતો નથી ત્રણ (કે વધુ) પરિમાણમાં વાંકોચુકો થાય છે. નિયમિત બહુફલકના પેટ્રી બહુકોણ ક્લાસિક ઉદાહરણો છે.
• ગોલીય બહુકોણ એ ગોળાની સપાટી પર બાજુઓ અને ખૂણાઓનો પરિપથ છે.
• એપીરોગોન એ બાજુઓ અને કોણની અપરિમિત શ્રેણી છે, તે બંધ નથી પરંતુ તેને અંત હોતા નથી કારણકે તે અનંત સુધી ફેલાયેલા હોય છે.
• મિશ્ર બહુકોણ એ સામાન્ય બહુકોણને અનુરૂપ છે મિશ્ર હિલ્બર્ટ સમતલમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

બહુકોણને નામ આપવા

"બહુકોણ" (polygon) શબ્દ પૂર્વ લેટિન શબ્દ પોલિગોનમ (polygōnum) (નામવાચક સંજ્ઞા), ગ્રીક શબ્દ પોલિગોનન/પોલુગોનન (polygōnon/polugōnon) πολύγωνονમાંથી આવ્યો છે. પોલિગોનન/પોલુગોનન (polygōnon/polugōnon) πολύγωνοςના નાન્યતર નામવાચક સંજ્ઞાનો ઉપયોગ (સ્ત્રીલીંગ વિશેષણ), જેનો અર્થ થાય છે "ઘણા-કોણવાળું". વ્યક્તિગત બહુકોણને તેની બાજુઓની સંખ્યાને આધારે નામ આપવામાં આવે છે( અને ઘણીવાર વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, ગ્રીક-ભાષાના આંકડાકીય પૂર્વર્ગને ઉપસર્ગ -ગોન સાથે જોડીને બનાવવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે,પંચકોણ , ડોડેકાગોન . ત્રિકોણ, ચતુર્ભુજ અથવા ચતુષ્કોણ, અનેનોનાગોન અપવાદ છે. મોટી સંખ્યાઓ માટે ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે આંકડા લખે છે. દા.ત. 17-ગોન . ચળનો પણ ઉપયોગ થઇ શકે છે, સામાન્ય રીતે n-કોણ . જો બાજુઓની સંખ્યાને સૂત્રમાં લખવામાં આવે તો તે ઉપયોગી છે.

કેટલાક વિશેષ બહુકોણ તેમના પોતાના નામ પણ ધરાવે છે દાખલા તરીકે નિયમિત તારા પંચકોણ પેન્ટાગ્રામ તરીકે પણ ઓળખાય છે.

બહુકોણના નામ
નામ	ધાર	નોંધ
હેનાગોન (અથવા એકકોણ)	1.	યુક્લિડીયન સમતલમાં તે એક શિરોબિંદુ સાથે બંધ વક્રમાં ડિજનરેટ થાય છે.
દ્વિકોણ	2	યુક્લિડીયન સમતલમાં તે તેના પર બે શિરોબિંદુ સાથેના બંધ વક્રમાં ડિજનરેટ થાય છે.
ત્રિકોણ (અથવા ટ્રાઇગોન)	3	સૌથી સરળ બહુકોણ જે યુક્લિડીયન સમતલમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે.
ચતુર્ભુજ (અથવા ક્વાડ્રાએન્ગલ અથવા ચતુષ્કોણ)	4	સૌથી સરળ બહુકોણ જે પોતાની જાતને વટાવી શકે છે.
પંચકોણ	5	સૌથી સરળ બહુકોણ જે નિયમિત તારાના સ્વરૂપમાં રહી શકે છે. તારા પંચકોણ પેન્ટાગ્રામ અથવા પેન્ટાકલ તરીકે ઓળખાય છે.
ષટ્કોણ	6	ટાળો "સેક્સાગોન" = લેટિન [સેક્સ-] + ગ્રીક
સપ્તકોણ	7	ટાળો "સેપ્ટાગોન" = લેટિન [સેપ્ટ-] + ગ્રીક
અષ્ટકોણ	8
એનનીયાગોન અથવા નોનાગોન	9	"નોનાગોન" સામાન્ય રીતે વપરાય છે પરંતુ તે લેટિન [નોવેમ = 9]ને ગ્રીક સાથે મિશ્ર કરે છે. કેટલાક આધુનિક લેખકો "એનનીયાગોન" લખવાનું પસંદ કરે છે.
ડેકાગોન	10
હેનડેકાગોન	11	ટાળો "અનડેકાગોન" = લેટિન [અન-] + ગ્રીક
ડોડેકાગોન	12	ટાળો "ડુઓડેકાગોન" = લેટિન [ડુઓ-] + ગ્રીક
ટ્રાઇડેકાગોન (અથવા ટ્રાઇસ્કાઇડેકાગોન)	13
ટેટ્રાડેકાગોન (અથવા ટેટ્રાકાઇડેકાગોન)	14
પેન્ટાડેકાગોન (અથવા ક્વિનડેકાગોન અથવા પેન્ટાકાઇડેકાગોન)	15
હેક્ઝાડેકાગોન (અથવા હેક્ઝાકાઇડેકાગોન)	16
હેપ્ટાડેકાગોન (અથવા હેપ્ટાકાઇડેકાગોન)	17
ઓક્ટાડેકાગોન (અથવા ઓક્ટાકાઇડેકાગોન)	18
એનનીયાડેકાગોન (અથવા એનનીયાકાઇડેકાગોન અથવા નોનાડેકાગોન)	19
આઇકોસાગોન	20
ટ્રાઇકોન્ટાગોન	30
કોઇ અંગ્રેજી સ્થાપિત નામ નથી	100	"હેક્ટાકોન" ગ્રીક નામ છે (જુઓ હેક્ટોમીટર), "સેન્ટાગોન" લેટિન-ગ્રીક સંકર નામ છે; એકેયનો વ્યાપક ઉપયોગ નથી થયો
ચિલિયાગોન (/ˈkɪliəɡɒn/)	1000	નિયમિત ચિલિયાગોનમાં પ્રત્યેક કોણનું માપ 179.64° છે.રેની ડેસ્કાર્ટિસે તેણે ઇન્ટેલેક્શન અને કલ્પના વચ્ચે ઉભી કરેલી ભિન્નતા સમજાવવા તેના સિક્સ્થ મેડિટેશનમાં માંચિલિયાગોન અને માયરિયાગોનનો ઉપયોગ કર્યો હતો (નીચે જુઓ) તે ત્રિકોણ માટ જેમ કલ્પના કરી શક્યો હતો તેમ [ચિલિયાગોનની] તમામ હજાર બાજુઓની કલ્પના કરી શક્યો ન હતો. જોકે, તે ત્રિકોણ શું છે તેના માટે જે સ્પષ્ટ સમજ ધરાવે છે તે રીતે ચિલિયાગોન શું છે તેની સ્પષ્ટ સમજ ધરાવે છે કારણકે તે તે માયરિયાગોનમાંથી તેને છૂટો પાડી શક્યો હતો. આમ તે દાવો કરે છે કે ઇન્ટેલેક્ટ કલ્પના પર અવલંબિત નથી.
માયરિયાગોન	100,000	ચિલિયાગોન પરની નોંધ જુઓ
મેગાગોન	1,000,000	નિયમિત મેગાગોનનો આંતરિક કોણ 179.99964 ડિગ્રીનો છે.
એપીરોગોન	∞	અસીમિત બાજુઓનો ડિજનરેનટ બહુકોણ

ઊંચા નામ રચવા

20થી વધુ અને 100થી ઓછી ધારવાળા બહુકોણના નામ રચવા માટે નીચે દર્શાવ્યા મુજબ ઉપસર્ગને જોડો

દશક		અને	એકમ		અંતિમ ઉપસર્ગ
		-કાઇ-	1.	-હેના-	-ગોન
20	આકોસી-		2	-ડાઇ-
30	ટ્રાયાકોન્ટા-		3	-ટ્રાઇ-
40	ટેટ્રાકોન્ટા-		4	-ટેટ્રા-
50	પેન્ટાકોન્ટા-		4	-પેન્ટા-
60	હેક્ઝાકોન્ટા-		6	-હેક્ઝા-
70	હેપ્ટાકોન્ટા-		7	-હેપ્ટા-
80	ઓક્ટાકોન્ટા-		8	-ઓક્ટા-
90	એનનીયાકોન્ટા-		9	-એનનીયા-

"કાઇ"નો હંમેશા ઉપયોગ થતો નથી. તેનો ક્યારે ઉપયોગ કરવો અને ક્યારે ના કરવો તે અંગે મતમતાંતર છે.(ઉપરના ઉદાહરણો પણ જુઓ).

વૈકલ્પિક રીતે, ઊંચા આલ્કેનના નામકરણ માટે વપરાતી પ્રણાલીનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય:

એકમ		દશક		અંતિમ ઉપસર્ગ
1.	હેન-	10	ડેકા-	-ગોન
2	ડુ-	20	-કોસા-
3	ટ્રાઇ-	30	ટ્રાયાકોન્ટા-
4	ટેટ્રા-	40	ટેટ્રાકોન્ટા-
5	પેન્ટા-	50	પેન્ટાકોન્ટા-
6	હેક્ઝા-	60	હેક્ઝાકોન્ટા-
7	હેપ્ટા-	70	હેપ્ટાકોન્ટા-
8	ઓક્ટા-	80	ઓક્ટાકોન્ટા-
9	એનનીયા- (અથવા નોના-)	90	એનનીયાકોન્ટા- (અથવા નોનાકોન્ટા-)

તેમાં 10થી 19 બાજુવાળી આકૃતિ માટે વપરાતી પ્રણાલી સાથે સાતત્ય જાળવવાનો લાભ છે.

માટે 42-બાજુવાળુ આકૃતિનું નામ નીચે મુજબ હશેઃ

એકમ	દશક	અંતિમ ઉપસર્ગ	બહુકોણનું સંપૂર્ણ નામ
ડુ-	ટેટ્રાકોન્ટા-	-ગોન	ડુટેટ્રાકોન્ટાગોન

અને 50-બાજુવાળી આકૃતિ માટે,

દશક	અને	એકમ	અંતિમ ઉપસર્ગ	બહુકોણનું સંપૂર્ણ નામ
પેન્ટાકોન્ટા-			-ગોન	પેન્ટાકોન્ટાગોન

પરંતુ એનનીયાગોન અને ડેકાગોનથી વધુ માટે વ્યવસાયિક ગણીતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે આગળ વર્ણવેલા આંકનો જ ઉપયોગ કરે છે (દાખલા તરીકે, મેથવર્લ્ડ 17-ખૂણા અને 257-ખૂણા પર લેખ ધરાવે છે). શાબ્દિક સ્વરૂપમાં સરળતાથી અભિવ્યકત કરી શકાતા હોય તેવી બાજુઓના આંક માટે કેટલાક અપવાદ છે.

ઇતિહાસ

બહુકોણ પ્રાચીન સમયથી જાણીતા છે. નિયમિત બહુકોણ પ્રાચીન ગ્રીકમાં જાણીતા હતા અને પેન્ટાગ્રામ, બિનબહિર્મુખ નિયમિત બહુકોણ (તારા બહુકોણ), ઇ.સ.પૂ. 7મી સદીમાં એરિસ્ટોફોનસ, કેરીની ફુલદાની પર જોવા મળે છે... બિનબહિર્મુખ બહુકોણનો થોમસ બ્રેડ્વારડિન દ્વારા 14મી સદી સુધી પદ્ધતિસરનો અભ્યાસ થયો ન હતો.

1952માં શેફર્ડે બહુકોણના વિચારને મિશ્ર સમતલ સાથે જોડ્યો જ્યાં પ્રત્યેક વાસ્તવિક પરિમાણ મિશ્ર બહુકોણ રચવા એક કાલ્પનિક સાથે જોડાયેલું છે.

પ્રકૃતિમાં બહુકોણ

ઉત્તર આયર્લેન્ડમાં જાયન્ટ્સ કોઝવે

પ્રકૃતિમાં અનેક નિયમિત બહુકોણ જોવા મળે છે. ભૂસ્તરશાસ્ત્રની દુનિયામાં સ્ફટિક સપાટ ફેસ અથવા ફેસેટ ધરાવે છે જે બહુકોણ છે. ક્વાસીક્રિસ્ટલ ફેસ તરીકે નિયમિત પંચકોણ પણ ધરાવી શકે છે. નિયમિત બહુકોણનું રસપ્રદ ઉદાહરણ ત્યારે બને છે જ્યારે લાવા ઠંડો પડવાથી બેસાલ્ટની ઠાંસોઠાંસ ભરેલા ષટ્કોણનો થાંભલો રરાય છે. આ વસ્તુ આયર્લેન્ડના જાયન્ટ્સ કોઝવેમાં અથવા કેલિફોર્નિયામાં ડેવિલ્સ પોસ્ટપાઇલમાં જોવા મળે છે.

દક્ષિણપૂર્વ એશિયાનું જાણીતું ફળ, તારાફળ

પ્રકૃતિમાં સૌથી જાણીતા ષટ્કોણ પ્રાણી રાજમાં જોવા મળે છે. માખી દ્વારા બનાવાયેલો મીણનો મધપૂડો અનેક ષટ્કોણ ધરાવે છે જેનો મધ અને પોલનનો સંગ્રહ કરવા અને લારવાને વૃદ્ધિ પામવા એક સલામત સ્થળ તરીકે ઉપયોગ થાય છે. એવા પણ પ્રાણીઓ છે જેઓ નિયમિત બહુકોણનો આકાર ધારણ કરે છે અથવા સમાન સમપ્રમાણતા ધરાવે છે. દાખલા તરીકે દરીયાઇ તારા પંચકોણની સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે અને કોઇ કોઇવારસપ્તકોણ અથવા અન્ય બહુકોણ ધરાવે છે. અન્ય એચિનોડર્મ, જેમકે દરીયાઇ ઉર્ચિન, ઘણીવાર સમાન સમપ્રમાતા દર્શાવે છે. એચિનોડર્મ ચોકક્સ રેડીયલ સમપ્રમાણતા દર્શાવતું નથી છતાં જેલીફીશ અને કોમ્બ જેલી ધરાવે છે સામાન્ય રીતે ચારગણુ કે આઠગણુ.

રેડીયલ સમપ્રમાણતા (અને અન્ય સમપ્રમાણતા) વનસ્પતિ રાજમાં પણ વ્યાપકપણે જોવા મળે છે ખાસ કરીને ફૂડોમાં (અને અમુક હદ સુધી) બીયા અને ફળોમાં, આવી સમપ્રમાણતાનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ પંચકોણીય છે. અલગ પડે તેવા ઉદાહરણ સ્ટારફ્રૂટ છે સહેજ ટેન્ગી ફળ જે દક્ષિણપૂર્વ એશિયામાં પ્રખ્યાત છે જેના છેદ પંચકોણીય તારા જેવા હોય છે.

બ્રહ્માંડમાં પૃથ્વીના ભ્રમણ અંગે ન્યૂટનના ગુરૂત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા પ્રારંભિક ગણિતશાસ્ત્રીઓને જણાયું હતું કે જો બે વસ્તુઓ (જેમકે, સૂર્ય અને પૃથ્વી) એક બીજાને ભ્રમણ કરતી હોય તો બ્રહ્માંડમાં એક એવું બિંદુ હોવું જોઇએ, જેને લેગ્રાન્ગીયન બિંદુ કહેવાય છે, જ્યાં નાની વસ્તુઓ (જેમકે, લઘુગ્રહો અથવા સ્પેસ સ્ટેશન) સ્થિર કક્ષામાં રહેશે. સૂર્ય-પૃથ્વી પ્રણાલી પાંચ લેગ્રાન્ગીયન બિંદુ ધરાવે છે. બે સૌથી સ્થિર બિંદુ પૃથ્વીની કક્ષામાં તેની બરાબર 60 આગળ અને પાછળ હોય છે માટે સૂર્ય અને પૃથ્વીના કેન્દ્રને આ સ્થિર લેગ્રાન્ગીયન બિંદુ સાથે જોડતા સમબાજુ ત્રિકોણ રચાય છે. ખગોળશાસ્ત્રીઓને આ બિંદુઓ પર લઘુગ્રહો મળ્યા છે. લેગ્રાન્ગીયન બિંદુ પર સ્પેસ સ્ટેશન રાખવું શક્ય છેકે નહીં તે હજુ પણ ચર્ચાસ્પદ છે — તેને ક્યારે કોર્સ સુધારો નહીં જોઇએ છતાં તેને પહેલેથી હાજર લઘુગૃહોને અવારનવાર ડોજ કરવો પડશે. ઓછા સ્થિર લેગ્રાન્ગીયન બિંદુઓ પર ઉપગ્રહો અને અવકાશી વેધશાળાઓ છે.

ઉપયોગો

• કાગળના ટુકડાને બહુકોણમાં કાપો તેમને ટેનગ્રામ તરીકે ફરીથી ભેગા કરીને મૂકો.
• ઘણી ધાર-થી-ધારને ટાઇલિંગ અથવા ટેસલેશન તરીકે જોડો.
• કેટલીક ધાર-થી-ધારનો જોડો અને અને તેમને વાળો જેથી કોઇ ખાલી જગ્યા ન રહે, ત્રિપરિમાણીય બહુફલક બનાવવા
• મોન્સ્ટર, થીમ પાર્ક, એરોપ્લેન અથવા કંઇ પણ વસ્તુનું ત્રિપારિમાણિક વિશ્વ બનાવવા કમ્પ્યુટર સર્જિત બહુકોણનો ઉપયોગ કરો.જુઓ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં બહુકોણ નીચે.

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં

કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ (ઇમેજ જનરેશન) સિસ્ટમમાં બહુકોણ એ દ્વિપરિમાણિક આકાર છે જેને તેના ડેટાબેઝમાં મોડલ અને સ્ટોર કરવામાં આવે છે. બહુકોણ રંગી, શેડેડ અને ભાતવાળા હોઇ શકે છે, ડેટાબેઝમાં તેનું સ્થાન તેના શિરોલંબ (ખૂણાઓ)ના નિર્દેશાંકો દ્વારા નક્કી થાય છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓની પરંપરાઓથી અલગ પરંપરાઓનું નામકરણ

• સરળ બહુકોણ તેની જાતને પાર કરતો નથી.
• અંતર્મુખ બહુકોણ એ સરળ બહુકોણ છે અને ઓછામાં ઓછો એક અંતઃકોણ 180°થી વધુનો હોય છે.
• મિશ્ર બહુકોણ તેની જાતને પાર કરતો નથી.

રિયલ ટાઇમ ઇમેજનરીમાં બહુકોણનો ઉપયોગ . ઇમેજિંગ સિસ્ટમમાં દૃશ્ય માટે જરૂરી બહુકોણના માળખા ડેટાબેઝમાંથી રચવામાં આવે છે. તેને એક્ટિવ મેમરીમાં અને અંતે ડિસપ્લે સિસ્ટમ (સ્ક્રીન, ટીવી મોનિટર વગેરે)માં ટ્રાન્સફર કરવામાં આવે છે જેથી તે દૃશ્ય જોઇ શકાય. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઇમેજિંગ સિસ્ટમ ડિસપ્લે સિસ્ટમમાં ટ્રાન્સમિશન માટે તૈયાર પ્રોસેસ્ડ ડેટામાં બહુકોણને સાચા પરિપ્રેક્ષ્યમાં રેન્ડર કરે છે. બહુકોણ દ્વિપરિમાણીય હોય છે છતાં દૃશ્યમાં સિસ્ટમ કમ્પ્યુટર મારફતે તેમને સાચા ત્રિપારિમાણિક દિશામાનમાં મુકવામાં આવે છે જેથી તે થ્રીડીમાં બન્યું હોય તેમ દૃષ્ટિ બિંદુ દૃશ્યમાં હલનચલન કરે છે.

મોર્ફિંગ . બહુકોણની સીમાઓ જ્યાં કન્ટીગ્યુઅસ બહુકોણના સમતન અલગ કોણ હોય છે ત્યાં કૃત્રિમ અસરો ટાળવા "મોર્ફિંગ અલ્ગોરિધમ્સ"નો ઉપયોગ થાય છે. તે બહુકોણની ધારને બ્લેન્ડ, સોફ્ટ અથવા સ્મૂથ કરે છે જેથી દૃશ્ય ઓછું કૃત્રિમ અને વાસ્તવિક દુનિયા જેવું લાગે.

મેશ્ડ બહુકોણ . મેશ્ડ બહુકોણ (મેશ્ડ એ માછલા પકડવાની જાળ જેવી હોય છે)ની સંખ્યા ફ્રી-સ્ટેન્ડિંગ અનમેશ્ડ બહુકોણની બમણી સુધી હોઇ શકે છે. તેમાં પણ ખાસ કરીને બહુકોણ જો કન્ટીગ્યુઅસ હોય તો. જો ચોરસ મેશને બાજુ દીઠ n + 1 બિદુઓ (શિરોલંબ) હોય તો મેશમાં n વર્ગવાળા ચોરસ હશે અથવા 2n વર્ગવાળા ત્રિકોણ હશે. કારણકે ચોરસમાં બે ત્રિકોણ હોય છે. એક ત્રિકોણમાં (n+1) 2/2n2 શિરોલંબ હોય છે. જ્યાં n મોટો છે, આ અડધાને પહોંચે છે. અથવા ચોરસ મેશની અંદરની બાજુએ આવેલા પ્રત્યેક શિરોબિંદુ ચાર ધાર (રેખા)ને જોડે છે.

બહુકોણ આંક . બહુકોણમાં ઘણી બાજુઓ હોવાથી તેને વ્યાખ્યાયિત કરવા ઘણા બિંદુઓની જરૂર પડે છે. એક ઇમેજિંગ સિસ્ટમને બીજા સાથે તુલના કરવા, "બહુકોણ આંક"ને સામાન્ય રીતે ત્રિકોણ તરીકે લેવામાં આવે છે. જ્યારે ચોકક્સ ઇમેજિંગ સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓનું પૃથક્કરણ કરવામાં આવે છે ત્યારે બહુકોણ આંકની ચોક્કસ વ્યાખ્યા મેળવવી જોઇએ કારણકે તે તે સિસ્ટમને લાગુ પડે છે કારણકે પ્રોસેસિંગમાં કેટલીક ફ્લેક્સિબિલિટી છે જે બિન-સામાન્ય તુલના સર્જે છે. શિરોબિંદુ આંક . આ મેટ્રિકનો ઉપયોગ વિસ્તવિકતાની નજીક લાગતો હોવા છતાં તેને ધ્યાનથી લેવું જોઇએ. પ્રત્યેક શિરોબિંદુને અન્ય પરિબળો (જેમકે, રંગ અથવા સામાન્ય) દ્વારા વધારી શકાતા હોવાથી પ્રોસેસિંગની માત્રા ઇનફર કરી શકાતી નથી. વધુમાં, લાગુ કરાયેલા શિરોબિંદુ ટ્રાન્સફોર્મને ધ્યાનમાં લેવાવું જોઇએ, તેમજ સિસ્ટમને લગતી ટોપોલોજી માહિતીનું મૂલ્યાંકન થાય છે કારણકે પોસ્ટ-ટ્રાન્સફોર્મ કેચિંગ અપેક્ષિત પરિણામમાં સતત વિવિધતા આપે છે.

બહુકોણ કસોટીમાં બિંદુ. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ કમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિમાં તે નક્કી કરવું જરૂરી હોય છે કે કોઇ બિંદુ P = (x ₀,y ₀) રેખાખંડની શ્રેણીએ સરળ બહુકોણની અંદરની બાજુએ રહે છે કે કેમ. તેને બહુકોણમાં બિંદુ કસોટી કહેવાય છે.

સંદર્ભો

ગ્રંથસૂચિ

• કોક્સિટર, એચ.એસ.એમ; નિયમિત પોલિટોપ , (મેથ્યુન એન્ડ કંપની, 1948).
• ક્રોમવેલ, પી.;બહુફલક , સીયુપી (CUP) એચબીકે (1997), પીબીકે. (1999).
• ગ્રુનબૌમ, બી.; આર યોર પોલિહેડ્રા ધ સેમ એઝ માય પોલિહેડ્રા? ડિસક્રિટ એન્ડ કોમ્પ્યુટ. જીયોમ: ધ ગૂડમેન-પોલાક ફેસ્ટક્રિફ્ટ , ઇડી. એરોનાવ ઇટ અલ. સ્પ્રિંગર (2003) પાના 461–488. (પીડીએફ સંગ્રહિત ૨૦૧૬-૦૮-૦૩ ના રોજ વેબેક મશિન)

બાહ્ય લિંક્સ

• Polygon name generator, બહુકોણનું નામ જોવા બાજુની સંખ્યા લખો
• ઢાંચો:MathWorld
• વોટ આર પોલિહેડ્રા?, ગ્રીક ન્યુમરિક પ્રિફિક્સ સાથે
• પોલિગોન્સ, ટાઇપ્સ ઓફ પોલિગોન્સ, એન્ડ પોલિગોન પ્રોપર્ટીઝ, ઇન્ટરેક્ટિવ એનિમેશન સાથે
• હાઉ ટુ ડ્રો મોનોક્રોમ ઓર્થોગોનલ પોલિગોન ઓન સ્ક્રીન સંગ્રહિત ૨૦૦૮-૦૪-૧૨ ના રોજ વેબેક મશિન, હર્બર્ટ ગ્લાર્નર દ્વારા
• કોમ્પ.ગ્રાફિક્સ.અલગોરિથમ્સ ફ્રિક્વન્ટલી આસ્ક્ડ ક્વેશ્ચન્સ, દ્વિપરિમાણીય અને ત્રીપરિમાણીય બહુકોણની ગણતરી કરતા ગાણિતિક કોયડાના ઉકેલો
• કમ્પેરિઝન ઓફ ધ ડિફ્રન્ટ અલગોરિથમ્સ ફોર પોલિગોન બૂલીયન ઓપરેશન્સ સંગ્રહિત ૨૦૧૧-૦૭-૨૦ ના રોજ વેબેક મશિન, કમ્પેર, કેપેબિલિડીઝ, સ્પીડ એન્ડ ન્યુમરિકલ રોબસ્ટનેસ