ક્ષેત્રફળ

ક્ષેત્રફળ અથવા વિસ્તાર એ સપાટીના ભાગનું માપ છે. સામાન્ય રીતે ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે લંબાઈ, પહોળાઈ, ત્રિજ્યા, વગેરે જેવાં માપ હોવાં જરુરી છે.

એકમો

સપાટીનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવવા વપરાતા કેટલાક એકમો નીચે મુજબ છે:

ચોરસ મીટર = આંતરરાષ્ટ્રીય પ્રમાણિત એકમ પદ્ધતિનો મૂળભૂત એકમ

અર = ૧૦૦ ચોરસ મીટર અથવા (૧૦૦ મીટર^૨)

હેક્ટર = ૧૦,૦૦૦ ચોરસ મીટર અથવા (૧૦,૦૦૦ મીટર^૨)

ચોરસ કિલોમીટર = ૧,૦૦૦,૦૦૦ ચોરસ મીટર અથવા (૧,૦૦૦,૦૦૦ મીટર^૨)

ચોરસ મેગામીટર = ૧૦^૧૨ ચોરસ મીટર

વિઘું અથવા વિઘા એ જમીનનું ક્ષેત્રફળ માપવા માટેનો ભારતીય પ્રણાલી મુજબનો એકમ છે.

૧ દેશી વિઘો = ૧૬૦૦ ચો. મીટર = ૧૬ ગુઠા

૧ એકર = ૨.૫ દેશી વિઘા = ૪૦૦૦ ચો. મીટર = ૪૦ ગુઠા

૧ હેક્ટર = ૨.૫ એકર = ૬.૨૫ દેશી વિઘા = ૧૦,૦૦૦ ચો. મીટર = ૧૦૦ ગુઠા (અર)

૧૦૦ અર = ૨.૫ એકર = ૬.૨૫ દેશી વિઘા = ૧૦,૦૦૦ ચો. મીટર

ક્ષેત્રફળ

આર્કીમીડીઝે દર્શાવ્યું કે ગોળા નું ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ એ આસપાસના નળાકાર સપાટી ના ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ ના ૨/૩ જેટલું થાય છે.

સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૌથી મૂળભૂત સૂત્ર સપાટીને કાપી અને તેને સમથળ બનાવીને મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક નળાકારની બાજુની સપાટીને લંબાઈ અનુસાર કાપી અને ચતુષ્કોણ રૂપે સમથળ કરવામાં આવે. તેવી જ રીતે શંકુને બાજુની સપાટી અનુસાર કાપી, અને જો તેને વર્તુળના ભાગ રૂપે સમથળ કરવામાં આવે, અને પરિણામ સ્વરૂપ વિસ્તારની ગણતરી કરાય.

ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનુ સુત્ર બહુ અઘરુ છે કારણ કે ગોળાની સપાટી અશૂન્ય હોવાથી (Gaussian curvature), તે સમતલ થઈ શકતી નથી. આર્કિમિડીઝે તેના કામમાં પહેલીવાર ગોળાની સપાટીનુ ક્ષેત્રફળનુ સૂત્ર મેળવ્યુ.

સૂત્રોની યાદી

સામાન્ય ક્ષેત્રફળના સુત્રો

આકાર	સૂત્ર	ચલ
નિયમિત ત્રિકોણ	${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ એ ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ જ છે.
ત્રિકોણ	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$ એ અર્ધ પરિમિતિ છે, $a$, $b$ અને $c$ એ દરેક બાજુની લંબાઈ છે.
ત્રિકોણ	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$ અને $b$ એ કોઈ પણ બે બાજુઓ, અને $C$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ત્રિકોણ	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ અને $h$અનુક્રમે પાયો અને વેધ (જેને પાયા ને લંબ રૂપે માપવામાં આવે છે) છે.
ચોરસ	$s^{2}\,\!$	$s$ એ ચોરસ ની લંબાઈ છે.
લંબચોરસ	$lw\,\!$	$l$ અને $w$ અનુક્રમે લંબચોરસ ની લંબાઈ અને પહોળાઈ છે..
સમચતુર્ભુજ	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$ અને $b$ એ સમચતુર્ભુજનાં બન્ને વિકર્ણૉ(diagonals)ની લંબાઈ છે.
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ	$bh\,\!$	$b$ એ પાયાની લંબાઈ છે અને $h$ એ લંબ ઉચાઈ છે.
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ અને $b$ એ સમાંત્તર બાજુઓની લંબાઈ છે અને $h$ એ બે સમાંત્તર બાજુઓ વચ્ચેનુ અંતર છે.
નિયમિત ષટ્કોણ	${\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ એ ષટ્કોણની એક બાજુની લંબાઈ છે.
નિયમિત અષ્ટકોણ	$2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!$	$s$ એ અષ્ટકોણની એક બાજુની લંબાઈ છે.
બહુકોણ	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$l$ એ બાજુની લંબાઈ છે અને $n$ એ બાજુઓની સંખ્યા છે.
નિયમિત બહુકોણ	${\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$p$ એ પરિમિતિ છે અને $n$ એ બાજુઓની સંખ્યા છે.
નિયમિત બહુકોણ	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)\,\!$	$R$ એ બહુકોણને બહારથી આન્તરતા વર્તુળની ત્રિજયા છે, $r$ એ બહુકોણની અન્દરના વર્તુળની ત્રિજયા છે, અને $n$ એ બાજુઓની સન્ખ્યા છે.
નિયમિત બહુકોણ	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ is the apothem, or એ બહુકોણની અન્દરના વર્તુળની ત્રિજયા છે અને $p$ એ બહુકોણની પરિમિતિ છે.
વર્તુળ	$\pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ એ ત્રિજ્યા અને $d$ એ વ્યાસ છે.
વર્તુળનો ભાગ	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ અને $\theta$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને ખૂણૉ ( રેડિયન્સ(radians) માં) છે.
ઉપવલય	$\pi ab\,\!$	$a$ અને $b$ એ અનુક્રમે મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષ (ધરીઓ) છે.
નળાકાર	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ અને $h$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને લંબાઇ છે.
નળાકાર (બન્ને છેડા વિના)	$2\pi rh\,\!$	$r$ અને $h$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને લંબાઇ છે.
શંકુ	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ અને $l$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને વેધ છે.
શંકુ (પાયા વિના)	$\pi rl\,\!$	$r$ અને $l$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને વેધ છે.
ગોળો	$4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ અને $d$ એ અનુક્રમે ત્રિજ્યા અને વ્યાસ છે.
ઘન ઉપવલય (ellipsoid)		See the article.
પિરામિડ	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$ એ પાયાનુ ક્ષેત્રફળ છે, $P$ એ પાયાની પરિમિતિ અને $L$ એ વેધ છે.
ચોરસથી વર્તુળાકારમાં પરિવર્તન	${\frac {4}{\pi }}A\,\!$	$A$ એ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળાકારથી ચોરસમાં પરિવર્તન	${\frac {1}{4}}C\pi \,\!$	$C$ એ વર્તુળાકારનું ક્ષેત્રફળ છે.

ઉપરના સૂત્રો મોટાભાગના ભૌમિતિક આકારોનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેનાં છે.

અનિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ સર્વેયર્સના સુત્રનો ઉપયોગ કરી ને ગણી શકાય છે.